Downloads & Free Reading Options - Results

Probability theory course by Andronick Arutyunov at Free Moscow University, spring 2021, Moscow tutorials by Alex Shpilkin, tutorial 11 on 2021-05-02. Incomplete recording. Addendum: Все эти (пока безрезультатные) рассуждения про интегралы были нацелены на то, чтобы как-то обосновать теорему де Муавра—Лапласа про приближение биномиального распределения нормальным. Нам понадобятся-таки значения чисел в этом нормальном распределении; целиком оно выглядит как 1/√(2πσ 2 ) × e i 2 /2σ 2 , где σ 2 , которое при внимательном рассмотрении оказывается дисперсией этого распределения, равно дисперсии исходного биномиального, то есть 300. Следующий шаг заключается в том, чтобы приблизить сумму значений уже этого нормального распределения в целых точках от − k до k его интегралом от − k до k , как мы до этого делали для логарифма. Наконец, нужно узнать, при каком k этот интеграл надо обрезать, чтобы результат получился равен 99% (в нашей задаче) или больше. Никакой полезной формулы тут написать нельзя, но люди обычно помнят стандартный набор значений: от −σ до σ лежит ≳ 68% (примерно треть в хвостах), от −2σ до 2σ лежит ≳ 95% (примерно одна двадцатая в хвостах), а от −3σ до 3σ лежит ≳ 99,7% (несколько тысячных в хвостах). Остальные значения можно посмотреть в специальных (полученных численно) таблицах; например, нужный нам однопроцентный хвост нужно отрезать примерно на 2,5 σ. Оба приближения, которые мы использовали в этом процессе (биномиального распределения нормальным и суммы интегралом) для симметричного распределения с параметром 300 (как у нас) имеют пренебрежимо малую ошибку; они вполне прилично работают даже с параметром 10. В итоге в задаче про гардеробы получается так: если положить σ 2 = 300, то там, где неравенство Чебышёва предписывало нам отрезать хвост на 10σ, приближение нормальным распределением говорит, что его достаточно отрезать на 3σ или даже меньше, и (тем же способом) вместо 250 с лишним вешалок с каждой стороны их получается нужно чуть меньше 180. Тут правильно отрезать хвосты с обоих сторон: непопадание в правый хвост означает, что правый гардероб не переполнен, а непопадание в левый — что левый, и оба условия нам нужны. Erratum: В действительности правильное приближение в симметричных координатах выглядит как n ! / 2 n [( n − k )/2]![( n + k )/2]! ≈ 2/√(2π n ) ×  e k 2 /2 n , с лишней с виду двойкой в числовом коэффициенте спереди. Его можно получить, либо честно перекосив координаты в стандартной формулировке теоремы де Муавра — Лапласа, либо из менее вычислительных соображений, которые мы ещё обсудим.